Notes de cours Itinéraire 2 : Les Proportions

LES PROPORTIONS

I. Notions de rapports ou de taux :

A) Rapport :

1) Définition : comparaison entre deux grandeurs de même nature ou de même unité.

2) Notation : un rapport peut s’écrire sous les trois formes suivantes
a : b ou a/b ou a

( s’écrit principalement comme une « fraction » simplifiée et sans unité de mesure)

3) Exemples :

a) Dans la classe il y a 15 filles et 20 garçons donc le rapport

entre le nombre de filles et de garçons est :

15 donc 3
20 4

et se lit dans la classe il y a 3 filles pour 4 garçons
ou le nombre de filles est égale au ¾ du nombre de garçons.

b) Le périmètre du carré A est 40 mm , celui du carré B, 9 cm :
trouve le rapport des périmètres des deux carrés.

Le périmètre du carré A par rapport au carré B est :
40 mm par rapport à 9 cm que l’on doit transformer de façon à ce qu’ils

aient la même unité de mesure :

soit en mm : 40 mm par rapport à 90 mm

ou en cm : 4 cm par rapport à 9cm

ce qui donne comme rapport : 4/9 et se lit le périmètre du carré A vaut les

4/9 du périmètre du carré B

B) Taux :

1)      Définition : comparaison entre deux grandeurs de nature différente
                    ou comparaison établie à l’aide des mots en, par, pour, chacun,
                    etc…..

2) Notation : a / b ou a
b

3) Exemples : a) la vitesse : 100 km /h
b) taux horaire : 25 $ / h

c) taux de natalité : 1,3 enfants / famille

d) densité de la population : 1000 habitants / 2 km²

e) coût : 0,99 $ / k

4) Taux unitaire : taux ramené à l’unité (c’est à dire pour 1 unité)

Exemple : Il a parcouru 200 km / 2h (taux) , ce qui indique que la

personne roulait à une vitesse de 100 km / h (taux unitaire) .

Il parcourait 100km en 1 heure.

II. COMPARAISON DE RAPPORTS OU DE TAUX : (objectifs 2.3 – 2.4)

            A) Procédés de comparaison : (les mêmes que pour comparer des fractions même si les
                                                                 rapports ou taux n’en sont pas, on les traite comme si..)

Exemples : Comparons les rapports suivants 2 et 3
3 5

1) Mettre au même dénominateur et comparer les numérateurs :

2 = 10 et 3 = 9 10 > 9 donc 2 > 3

3 15 5 15 15 15 3 5

2) Méthode des quotients : en divisant le numérateur par
le dénominateur de chaque rapport et comparer les résultats.

2 ¸ 3 = 0,666… et 3 ¸ 5 = 0,600…

donc 2 > 3

3 5

B) Rapports ou taux équivalents :

1) Définition : 2 rapports ou 2 taux ayant la même valeur.

Exemple : 3 et 6 sont deux rapports équivalents car 3 = 6

5 10 5 10

2) Procédé pour trouver des rapports ou des taux équivalents :

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par une même quantité non nulle :

Exemples : a) 4 x 2 = 8 donc 4 = 8 et sont 2 rapports équivalents.

7 x 2 14 7 14

b) 200km ¸ 2 = 100 km donc 200 km / 2 h = 100 km / h

2 h ¸ 2 1h et sont 2 taux équivalents.

III . UNE PROPORTION

A) Définition : une proportion est une égalité de 2 rapports ou 2 taux, donc formée de 4

termes : deux termes appelés extrêmes et deux termes appelés moyens.

Exemple : 6 = 18 est une proportion
7 21

extrême = moyen donc 6 et 21 sont les extrêmes
moyen extrême et 7 et 18 sont les moyens

B) Propriété fondamentale d’une proportion :

Dans toute proportion, le produit des extrêmes égale le produit des moyens

6 = 18 est une proportion

7 21

donc

6 x 21 = 7 x 18

126 = 126

C) Situation de proportionnalité :

1. Définition : est une situation dont tous les rapports ou les taux sont équivalents
et dont le graphique donne une droite passant par l’origine

Droite passant par le point d’origine

Table des valeurs : obtenue à partir de la situation précédente

x(1^er terme)	1	4	6	…	n
y(2^e terme)	2	8	12	…	__n

      Rapports équivalents : tous les rapports de cette table sont équivalents

                                            1 = 4 = 6                  x 2

2 8 12

2. Coefficient de proportionnalité : est le nombre par lequel je multiplie le premier
terme pour obtenir le deuxième terme
et correspond à 2 dans l’exemple précédent .

D) Procédés pour trouver le terme manquant dans une proportion :

1. Démarche obligatoire :

         a) Table des valeurs selon le procédé utilisé (ou résumé des données)

         b) Calculs reliés au procédé utilisé

         c) Réponse complète

2. Exemples pour chacun des procédés :

Si 2 crayons coûtent 5,00 $, combien coûtent 7 crayons ?

Procédé 1 : Le graphique cartésien

a) Table des valeurs :

Crayons	0	2	4	7
Coûts ($)	0	5	10

Coût ($)

b) Graphique cartésien :

Crayons

c) Réponse complète : Sept crayons coûtent environ environ 17,50 $

(À noter ce procédé manque de précision dans plusieurs situations.)

Procédé 2 : Retour à l’unité

a) Table de valeurs :

Crayons	1	2	7
Coûts ($)	?	5	?

b) Calculs : 5 $ ¸ 2 crayons = 2,50 $ / crayon

7 crayons x 2,50 $ / crayon = 17.50 $

c) Réponse complète : Sept crayons coûtent 17,50 $

Procédés 3 : Le facteur de changement

a) Table de valeurs :

Crayons	2	7
Coûts ($)	5	?

b) Calculs : 7 ¸ 2 = 3,5 facteur de changement (car 2 x 3,5 = 7)

5 $ x 3,5 = 17,50 $

c) Réponse complète : Sept crayons coûtent 17,50 $

Procédé 4 : Méthode des produits croisés

a) Table de valeurs et proportion :

Crayons	2	7
Coût ($)	5	C

2 = 7
5 C

b) Calculs : dans une proportion le produit des extrêmes = le produit des moyens

2C = 5 x 7

2C = 35

C = 35 ¸ 7 = 17,50

c) Réponse complète : Sept crayons coûtent 17,50 $

(Ce procédé est celui dont l’utilisation revient dans plusieurs domaines des mathématiques)

IV. RÉSOLUTION DE PROBLÈMES : (par la méthode des produits)

Pour parcourir 210 km, Julie prend 3 heures. Si elle roule à une vitesse constante, combien de temps prendra-t-elle pour parcourir 420 km ?

Étape 1 : traduire le problème sous la forme d’une proportion :

210 km en 3 heures
Données (situation de proportionnalité)

420 km en ? heures

Proportion : 210 = 3

420 n

Étape 2 : Utiliser la méthode des produits

210 n = 420 x 3 (produit des extrêmes = produit des moyens)

210n = 1260

n = 1260
210

n = 6

Étape 3 : Donner une réponse complète :

Julie prendra 6 heures pour parcourir 420 kilomètres.