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NOTES DE COURS : LES POLYGONES                                        ITINÉRAIRE 10

 

I. Les polygones et leurs caractéristiques :

 

   A) Définition : un polygone est une ligne brisée fermée.
                                                                             
            pentagone                  heptagone                  hendécagone              hexagone

 
   B) Classification des polygones :

 

            1. Selon le nombre de côtés :

           

NOMBRE DE CÔTÉS	POLYGONE
3	Triangle
4	Quadrilatère
5	Pentagone
6	Hexagone
7	Heptagone
8	Octogone
9	Ennéagone
10	Décagone
11	Hendécagone
12	Dodécagone
…

 

            2. Selon la forme :

               
              *a) convexe :     - les angles intérieurs sont inférieurs
                                         - le prolongement des côtés passe à l’extérieur du polygone.

 

            
               b) concave :     - au moins un angle est supérieur à 180⁰

 - le prolongement de certains côtés passe à l’intérieur du polygone.

 

 

              c)  croisé : polygone ayant des côtés non consécutifs sécants (qui se croisent).

                                                       

              d) simple : polygone non-croisé                    

 

            *e) régulier : polygone ayant tous les côtés et les angles congrus.

                                                                              …… 

                                  triangle    carré    pentagone     hexagone
                               équilatéral                 régulier         régulier         ……



II . Énoncés sur les polygones :

 

A) Polygones et diagonales : (voir tableau p. 215 ou feuille de travail 22)

 

     Un polygone régulier à n côtés possède au total  n(n – 3)  diagonales,
                                                                                            2                        
      où (n-3) est le nombre de diagonales à chaque sommet. 

 

     Exemple :                             

                                                         6 x (6 – 3)  diagonales  =  9 diagonales     
                                                                2



B) Polygones et triangles :
                          
        Un polygone à n côtés se divise en (n - 2) triangles à partir des diagonales
        issues d’un même sommet.

        Exemple :                                        
                                    
                                                             (6 - 2) triangles = 4 triangles

 

 

 

  C) Somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone:(voir tableau p. 215 ou
       feuille de travail 22)    

 

          La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone est égale à 180 fois
          le nombre de côtés moins 2 ou  (n – 2) x 180^o.

        Exemples :                        
                                                        

                                                                                                                                   

                            (3-2)x180^o        (4-2)x180^o               (5-2)x180^o          (6-2)x180^o
                                = 180^o               = 360^o                     = 540^o                 = 720⁰

 

 

     D) Polygones et angles extérieurs et intérieurs:

 

       - Dans un polygone, un angle intérieur et son angle extérieur correspondant
                                         sont supplémentaires (somme = 180^o).

 

          Exemple : 

 

 

   




    - La somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone convexe égale 360^o.

 

     Exemples :    1.  Soit le triangle équilatéral suivant :

 

                                                                                 

 

                                                                                               3 x 120^o = 360^o

 

 

 

 

 

2.      Soit l’hexagone régulier suivant :

 

 

 

                                                                                                 

                                                                                                   6 x 60^o = 360^o    

 

 

 

 

 

 

 

 

   - La mesure d’un angle extérieur d’un triangle correspond à la somme des mesures
     des  2 angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

 

     Exemple :                              

 

                                                                                                121^o = 45^o + 76^o

 

 

  
   - Dans les quadrilatères concaves, la mesure de l’angle extérieur formé par l’angle
      rentrant est égale à la somme des mesures des trois autres angles intérieurs.

 

     Exemple :

  

 

NOTES DE COURS ET DOCUMENT DE TRAVAIL                                                         ITINÉRAIRE 10

Constructions de polygones réguliers 

III .  Énoncés reliés à la construction de polygones réguliers :

 

1. La mesure d’un angle extérieur d’un polygone régulier est égale à :

                                            360^o              
                                              n  

 

2. La mesure d’un angle intérieur d’un polygone régulier est égale à :

 

                                     (n - 2) x 180^o
                                                n

 

3. Polygones et axes de symétries :

 

              a) Tous les axes de symétries d’un polygone régulier passent par le centre
                  du polygone.

 

              b) Le point de rencontre des axes de symétrie d’un polygone régulier est
                  aussi le centre d’un cercle qui passe par tous les sommets du polygone.
                  (Un polygone régulier est inscrit dans le cercle qui passe par ses sommets).

 

              Exemples :   a)                                                  b)                                                                   

 

 

 

 

 

 c) Tout polygone régulier est décomposable en n triangles isocèles congrus
       en reliant le centre du polygone régulier à chacun de ses sommets.

 

       Exemples :                                  

 

 

 

 

               d) La mesure d’un angle au centre d’un polygone régulier à n côtés est égale à

                                360^o        
                                  n                                                      360^o / 6 = 60^o

 

 

                e) Le côté d’un hexagone régulier est égal au rayon du cercle dans lequel
                    il est inscrit :

 

 

IV. Techniques de constructions de polygones réguliers  (avec le
       logiciel Cari-Géomètre).

 

a)Constructions de polygones réguliers à partir d’un cercle :

 

 1. Trace un cercle.

 

 

 

 2.   Divise le cercle en 5 angles
       au centre congrus de ______.                                              

       (360^o / 5 = _____)

 

  3.   Trace les ___________ pour former
        le polygone demandé.

 

 

 

     Construis les autres polygones réguliers des feuilles de travail 28-29 selon ce procédé.

 

 

    b)Constructions à l’aide du compas et/ou du rapporteur d’angles

       D’un triangle équilatéral :à l’aide d’un compas:

 

 

 

 

                                   
  

 

 

 

D’un triangle équilatéral à l’aide d’un rapporteur d'angles

                                  

 

 

 

 

 

 

 

         D’un carré à l’aide d’un compas et rapporteur

 

                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) Construction d’un polygone régulier à partir d’un autre polygone régulier

 

    Construction d’un hexagone régulier à partir d’un triangle équilatéral 

 

   

     Construction d’un octogone à partir d’un carré selon la même technique

 

 

 

 

 

                                                                                                           

 

 

 

     Construction d’un décagone régulier à partir d’un pentagone régulier

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   d) Construction d’un polygone régulier de n cm de côté

 

 

      Construction d’un pentagone de 4 cm de côté

 

 

     

 

        

 

 

 

 

 

 

  e) Construction d’un hexagone à partir d’un cercle et de son rayon :

 

            Cette technique ne s’applique qu’à l’hexagone régulier

 

 

     

 

 

 

      f) EN UTILISANT L’UNE OU L’AUTRE DES TECHNIQUES, CONSTRUIS :

 

 

1.      un hexagone régulier de 5 cm de côté

 

 

 

 

 

 

 

 

            2.   un octogone régulier de 3 cm de côté

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

http://www.cabri.net/nouvelles/index.html

 

 

                      

 

V.  PÉRIMÈTRE ET AIRE D’UN POLYGONE RÉGULIER

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AIRE D’UN POLYGONE RÉGULIER

Aire d’un polygone régulier (suite)       L'aire d'un polygone régulier est donc obtenue en multipliant l'aire d'un des triangles isocèles par n   Or la formule pour calculer l'aire d'un triangle isocèle est                             A = ca  /  2        où "c" est la longueur du côté                                                     et  "a" est la hauteur du triangle appelée apothème          Donc l'aire du polygone est n fois l'aire d'un triangle isocèle :           A =  n (ca / 2) = 5 x (3 cm x 2,07 cm)  /  2 =  (5 x 3cm)  x 2,07 cm  /  2 = 15,52 cm2                                                                          =       15 cm  x 2,07 cm  /  2 = 15.52cm2                                                                                   =          p       x    a         /   2                                                                           D'où la formule d'aire d'un polygone régulier  est:                                                                   A = pa / 2                                            où « p » est le périmètre du polygone et « a » l'apothème

 

 

 

 

 

                               

 

 

 

 

 

 

 

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