LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
PARTIE A :
LES
CONCEPTS ET LES TECHNIQUES
II.
Méthode des équations équivalentes :
- règles de base
- équations simples
et équations utilisant la
méthode des produits
- équations ayant une variable de chaque côté
-équations contenant des opérations algébriques
A) Égalité: énoncé vrai ou faux qui utilise le symbole « = ».
Exemples: 1) 3 x 2 + 4 = 10 égalité vraie
2) 3 x 2 + 4 = 12 égalité fausse
B) Équation à une inconnue:
égalité dans laquelle on a introduit au
moins une variable.
Exemple: 3b + 4 = 10 est une équation,
la
variable b est l’inconnue de l’équation,
3b
+ 4 se nomme le membre de gauche,
10
est le membre de droite .
C) Domaine ou ensemble
de référence de_la variable:
Ensemble des valeurs que
l'on fixe comme étant celles
que peut prendre
la variable. L’ensemble de référence est la
plupart du temps l’ensemble
de tous les nombres réels.
Exemple: Soit l'équation 3b + 4 = 10 où b Î {0,1,2} , ce qui signifie que
la variable «b»
peut prendre la valeur O, 1 ou 2.
{0.1.2} est le domaine ou
l'ensemble de référence de la variable.
D) Solution et ensemble-solution
d'une équation:
Valeur de la variable
qui transforme l'équation en une égalité vraie.
Exemple: Soit
l'équation 3b + 4 = 10
où b Î {0,1,2}, trouve la solution puis l'ensemble-solution.
Pour b=0, on a 3xO +
4 = 10 F
Pour b=1, on a 3x1 + 4 = 10
F
Pour b=2, on a 3x2 +
4 = 10
V
Donc 2 est
la solution et {2} est l'ensemble-solution.
Note: si la solution n'est pas un
élément du domaine, l'ensemble-solution
est vide et s'écrit comme
ceci { } ou Æ
E) Équations équivalentes : équations ayant la ou les
mêmes solutions.
Exemple : 2x = 6 et x + 1 = 4
sont des équations équivalentes car
elles ont toutes les deux «3» comme
solution.
II. TECHNIQUE OU
méthode des équations équivalentes
A) Deux propriétés
ou règles de base :
1. On conserve les solutions
d’une équation si on additionne ou soustrait la même valeur
aux deux membres
de l’équation.
Exemple 1 :
4x + 8 –
8 = 24 –
8 4x = 16
En soustrayant 8 aux deux membres de la première équation, on obtient, 4x=16, équation équivalente à la première.
|
Exemple 2 :
|
Les deux équations
ont 4 comme solution.
|
Les deux équations
ont 8 comme solution.
|
2. On conserve les solutions d’une équation si on multiplie
ou divise la même valeur
aux deux membres
de l’équation.
|
Exemple 3 :
5a = 15
2 X 5a = 15 X 2
5a = 30 En multipliant chaque
membre de la première équation par 2 , on obtient |
15 y = 30
15 y = 30
(division par 15)
En divisant chaque membre de la première équation par 15, on obtient « y = 2 », équation équivalente à la première. |
|
Les deux équations ont 6 comme solution.
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|
Nous pouvons
résumer ces deux règles à ceci : « tout ce que je fais à un membre de
gauche de l’équation, je le fais aussi au membre de droite de l’équation………pour
enfin parvenir à
la solution de l’équation ou trouver la valeur de la variable.
B) Application de la technique sur différents types d’équations :
1)
Équations se résolvant simplement selon les 2 règles de
base :
Pour résoudre une équation, on
utilise la règle de l’addition ou la soustraction avant
celle de la multiplication ou division.
2n
+ 3 = 5
2n + 3 – 3 = 5 – 3 (suppression du 3 en soustrayant
3 de chaque côté)
2n
= 2
2n
= 2 (suppression
du 2 en divisant par 2 de chaque côté)
2 2
n = 1 solution de l’équation
2)
Équations présentées sous la forme d’une proportion :
on utilise alors la propriété
fondamentale des proportions, à savoir :
«Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens»
pour trouver une équation équivalente
et par la suite trouver la solution en utilisant les règles
de base.
Exemple : a + 2 = 9
8 4
a + 2 = 9 ( méthode des produits)
8 4
4( a + 2 ) = 9 X 8
4a + 8 =
72 (équation équivalente à l’équation de départ
en effectuant la multiplication de chaque côté)
Résolvons l’équation obtenue en nous servant des règles de base apprises :
4a + 8 = 72
4a + 8 – 8 = 72 – 8 ( suppression de 8 en soustrayant 8 de chaque côté)
4a = 64
4a
= 64 (suppression du 4 en divisant chaque membre par 4)
4 4
a = 16 solution de l’équation
Un peu d’exercices……
avec ton crayon évidemment……
Exercices : suivre
les règles de base pour résoudre les équations suivantes et vérifier tes
réponses ici :
1. x + 3 = -5 2. y - 5 =
-5 3. 2x = 3
4. -4y = -4
5. y = 3 6. x = -5
7. 2 x = 6 8. y = -3
3 -2 5 2
4
9. 2x –7 = 15 10. –3y + 10 = -5
11. a + 1 = 3 12. a – 3 = 9
8 4 4 2
3)
Équations contenant
une variable dans chaque membre :
Pour
résoudre ce genre d’équations, on doit éliminer un des deux termes contenant
une
variable en se servant de
la règle de l’addition ou de la soustraction. (Il est recommandé
d’éliminer le terme dont la variable
a le plus petit coefficient).
Exemple :
5x
– 6 = - 2x + 8 ® éliminons le terme -2x en additionnant 2x de
chaque côté
5x + 2x – 6 = - 2x +
2x + 8
7x – 6 = 8 ( équation équivalente après la réduction des termes semblables
de chaque côté)
7x – 6 + 6 = 8 + 6 (suppression de -6 en additionnant 6 de chaque côté)
7x
= 14
7x = 14 (suppression du 7 en divisant par 7 de chaque côté)
7 7
x = 2
solution de l’équation
4)
Équations contenant des opérations algébriques :
On
doit effectuer les opérations dans chaque membre de l’équation puis
procéder comme appris.
.
Exemple : 2(
3x – 8) – (x – 10) = 3x
– 2x + 4
6x
– 16 – (x – 10) = x
+ 4
6x – 16
– x + 10
= x + 4 (suppression de la parenthèse
précédée d'un moins)
5x
– 6 = x + 4 (réduction des termes semblables)
5x – x – 6 = x – x + 4
(élimination du terme x, en soustrayant x de chaque côté)
4x –
6 = 4
4x – 6 +
6 = 4 + 6
(élimination de -6 en additionnant 6 de chaque côté))
4x
= 10
4x
= 10 (élimination
du 4 en divisant chaque membre par 4)
4 4
x
= 5/2 ou 2,5
solution de l’équation
EXERCICES : à faire en t’inspirant des exemples
précédents et à vérifier à ton
ici.
1. 5(n+2) = 50 2. 5(n-3) = 25 3.
x + ( x – 24 ) = 48 4.
x + (x – 24) –12 = x
5. x = x – 24 6. 2y = 6(y – 24) 7. 3x
– 2 = 5 8. 3x + 2 = x - 1
2
4 2 3
2
9. 3x – (x + 2) = 5 – (3 – x) 10. -
2x + (x – 5) = 3x – ( x + 2)
11. 3x – ( 2 – x ) = 3 + ( 3 – x ) 12.
3x – ( 2x + 1 ) = - ( x + 1)
2 2 2 3 2
13. x + 1 = x – 1 14. 4x + 1 = 3x
- 1 15. 1 – 2x = 1 + 2x
5 2 2 3 3 2
Comme
tu as remarqué, une équation à une variable n'a généralement qu’une seule
solution.
Parfois certaines équations à une variable peuvent avoir une infinité de solutions
ou aucune solution.
Résous les équations suivantes et indique s’il y a une
solution, aucune solution ou une infinité de solutions :
16. 3(c– 2) – 5c = - 2( c
+ 1 )
17. y – 2 = 2y – 6
2 4
18. n – 3 = 0
18. 3(a – 4) – 2(x – 1) = x – 1
2
20. 3t – 1 = 2t + 1
21. d – 2 = d – 3
3 2 2
3
