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V. RÈGLE D’UNE HOMOTHÉTIE DANS LE PLAN CARTÉSIEN

A) Rappel : homothétie dans le plan DE RAPPORT 2 :

Un homothétie est construite à partir :

- d’un centre d’homothétie : point fixe O.

- d’un rapport d’homothétie : facteur d’agrandissement, de réduction ou de
reproduction exacte, pouvant être positif ou négatif.

B) RÈGLE D’HOMOTHÉTIE DANS LE PLAN CARTÉSIEN :

Dans le plan cartésien suivant, le centre d’homothétie est l’origine du plan
et le rapport d’homothétie est 2.

1. Trouve les coordonnées des figures dans le plan ci-haut :

A ( 1 , 2 ) A’( 2 , 4 )

B ( 1 , 1 ) B’( 2 , 2 )

C ( 4 , 1 ) C’( 8 , 2 )

Les coordonnées des sommets de la figure initiale et celles de la figure image

sont  associées par multiplication .

2. Complète la règle : h _{(O, 2)} : ( x , y ) ( 2x , 2y )

Cette règle se lit comme suit : Homothétie centrée à l’origine , de rapport 2

qui, au couple initial (x , y), associe le couple image ( 2x , 2y )

C. Applications :

1. Trouve les coordonnées des sommets du triangle ABC dont les coordonnées sont : A(4,8) , B(-1,4), C(-6,-8) selon les homothéties suivantes :

a) h_{(O, ½)} : A’ ( 2 , 4 ) b) h_{(O, -1)} : A’ ( -4 , -8 )

B’ ( -0,5 ; 2 ) B’ ( 1 , -4 )

C’ ( -3 , -4 ) C’ ( 6 , 8 )

c) h_{(O, 2)} : A’( 8 , 16 ) c) h_{(O; -2)} : A’ ( -8 , -16 )

B’( -2 , 8 ) B’ ( 2 , -8 )

C’( -12 , - 16) C’ ( 12 , 16 )





2. Indique l’effet provoqué sur le triangle ABC suite aux homothéties précédentes :

a) réduction b) reproduction exacte

c) agrandissement d) agrandissement





3. Trouve l’image des figures données selon les homothéties suivantes :

a) h_{(O ; 2)} :

b)h_{(O; -1)}

c) h_{(O; ½)} :

B) À RETENIR:

La règle d’une homothétie centrée à l'origine dans le plan cartésien se définit
comme suit :

h_{(O ; a)} : ( x , y ) ( ax , ay )

ou «a» est le rapport d'homothétie.

Une homothétie dans le plan cartésien revient à faire une multiplication.

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