B) Centre d’homothétie :
point fixe qui est sa propre image et
par où passent les droites (pointillées) appelées traces.
Le centre
d’homothétie est représenté par une boucle
et est désigné généralement par la lettre O.
C) Trace : droite pointillée passant
par le centre d’homothétie sur laquelle on retrouve un point du plan et son image
obtenue par homothétie.
D) Rapport d’homothétie : nombre par lequel on multiplie la distance
entre le centre d'homothétie et un point
du
plan pour trouver la distance entre
le centre d'homothétie et le point image.
On désigne souvent le rapport d’homothétie par la lettre k.
Formule pour trouver le rapport d’homothétie :
k
= mesure de la distance entre le point O et le point image P’
mesure de la distance
entre le point O et le point initial P
II. Applications à partir d’un rapport positif :
A) Agrandissement: trouver l’image d’un point
par homothétie de rapport > 1 :
1) Relie par des demi-droites pointillées (traces) , les points A, B et C au point O appelé centre d’homothétie
2) Trouve les points images
des points A, B, et C par une homothétie de rapport
2
en multipliant chacune
des mesures des segments OA, OB et OC par 2 et inscris les résultats obtenus :
___
___
a) m OA x 2
= ____________ = _______ = m OA’
___ ___
b) m OB x 2
= ____________ = _______ = m OB’
___ ___
c) m OC
x 2 = ___________
= ______ = m OC’
3) Place sur les traces
les points images A’ , B’ et C’ à partir du point O
et
remarque que les points
images A’, B’ et C’ s’éloignent
du centre d’homothétie O
et
sont situés du même côté du point O
.
B) Réduction : trouver
l’image des sommets du triangle DEF par homothétie de : 0
< rapport < 1.
1) Si le rapport
est 1/2 , relie les sommets D, E et F par des traces
au point O
appelé centre d’homothétie .
2) Multiplie
chacune des mesures des segments OD, OE et OF par le rapport 1/2
et inscris les résultats obtenus :
___
mOD x 1/2 = ______________ = ________ = m ____
___
mOE x 1/2 = ______________ = ________ = m ____
___
mOF x 1/2 = ______________ = ________ = m ____
3) Place les points D’, E’
et F’ sur le graphique suivant à partir du point O:
4) Relie les points
D’, E’ et F’ pour former le triangle image dont la mesure de
chacun des côtés est
égale à la moitié des mesures des
côtés correspondants.
On remarque que le triangle DEF a été réduit
, que les sommets
images D’, E’, et F’ se sont rapprochés du point O et que le triangle initial
et le triangle
image sont situés du même côté par rapport au
centre d’homothétie.
C) Reproduction exacte: trouve l’image du triangle GHI par une homothétie de rapport = 1
On obtient une reproduction exacte
du triangle GHI, parce que
la multiplication par
1 étant neutre, les points initiaux et images sont les
mêmes.
On dessine
donc une boucle , représentation
d’un point fixe, à chacun des sommets
et indique
les points images en utilisant le symbole « = » :
G = G’ , H = H’ et I = I’
sur le graphique.
À RETENIR :
1) Pour trouver l’image
d’un point par homothétie il faut connaître :
- le centre
d’homothétie
et
- le rapport d’homothétie
2) Les différentes façons
de présenter une homothétie sont regroupées sur les
feuilles de travail
7, 9 (parallélisme dans les homothéties) et 11
III. Les propriétés d’une homothétie :
A) Les homothéties transforment une droite en une droite parallèle à la première.
B) Les homothéties conservent les mesures des angles.
C)
Les homothéties transforment des segments en segments
parallèles
dont les rapports
des
mesures
des segments de l’image et
de la figure initiale sont
proportionnels
et équivalents au rapport d’homothétie.
D)
Le rapport d'homothétie détermine la position de la figure initiale
et de son image:
1) si le rapport est positif :
la figure initiale et son image sont du même
côté par rapport au point O.
2) si le rapport est négatif : la figure initiale et son image sont de chaque côté du point O.
Le signe devant le rapport d’homothétie ne donne
que la position
de la figure initiale et de son
image par rapport au centre d’homothétie
et
ne change pas l’effet recherché soit un agrandissement , une réduction
ou
une
reproduction exacte .
Donc :
- si k = 1 ou -1 : reproduction exacte
de la figure initiale.
-
si k < -1 et k > 1 : agrandissement
de la figure initiale.
- si
k > -1 et k < 1 : réduction
de la figure initiale.
