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NOTES DE COURS ET DOCUMENT DE TRAVAIL

LE CALCUL ALGÉBRIQUE

Les concepts : définitions - propriétés - traduction
Les techniques: valeur numérique - termes semblables - addition - soustraction
multiplication - division

I. LES CONCEPTS

A) Définitions, propriétés et traduction des expressions algébriques :

1. Expressions algébriques : expressions formées d'un ou plusieurs termes algébriques.

Exemple : 3n² + n – 3 est une expression algébrique.

2. Variable : lettre utilisée pour remplacer un nombre.

3. Terme algébrique : nombre, variable ou tout produit de nombres et de variables.

Exemple. : Soit l’expression algébrique : 3n² + n – 3

                     Un terme est : . un nombre : -3
                                           . une lettre : n
                                           . un produit de nombres et de lettres : 3n²

4. Terme constant : terme formé seulement d'un nombre,

Exemple : dans 3n² + n – 3: -3 est le terme constant.

5. Coefficient numérique : nombre jouant le rôle de multiplicateur d’une quantité ( en algèbre la variable joue le rôle de quantité).

                                       Le coefficient est par convention placé devant la variable.

                                       Un coefficient est toujours précédé d’un signe.

                                       Le terme constant est aussi un coefficient.

Exemples : Soient les expressions algébriques suivantes :

a) 3x² : le coefficient est 3

b) –2y : le coefficient est -2
c) a : le coefficient est 1 (1 sous-entendu)

d) –b : le coefficient est -1 .

6. Termes semblables : termes ayant les mêmes lettres affectées
des mêmes exposants et les termes constants.

Exemple : soit l’expression algébrique suivante : « 3n + 4n² – 4n + 3 – 5n² – 4 »

3n et -4n sont des termes semblables en n.

4n² et -5n² sont des termes semblables en n².

3 et – 4 sont des termes semblables parce que constants.

Note: seuls les coefficients peuvent être différents.

B) Les propriétés des opérations :

L’ADDITION

LA MULTIPLICATION

1.

2.

3.

4.

5.

L’addition est définie:
a+b est un nombre

La commutativité :
a+b = b+a

L’associativité :
(a+b)+c = a+(b+c)

L’élément neutre : 0

L’opposé :
- l’opposé de a est -a
- l’opposé de -a est a

1.

2.

3.

4.

5.

La multiplication est définie: a · b est un nombre

La commutativité : a · b = b · a

L’associativité : (a·b)·c = a·(b·c)

L’élément neutre : 1

L’existence d’inverses : l’inverse de a est 1 ,

a

l’inverse de 1 est a et l’inverse de c est d

a d c

6. La distributivité de la multiplication sur

- l’addition : a(b+c) = (a·b) + (a·c)

- la soustraction : a(b-c) = (a·b) - (a·c)

C) Traduction en langage algébrique ou en langage courant :

Opération	Expression algébrique	Lecture
Addition	n + 5	La somme de n et 5
Soustraction	n – 5	La différence de n et 5
Multiplication	5n	Le produit de 5 et n
Division	n ¸ 5 = n 5	Le quotient de n et 5
Exponentiation	n²	Le carré de n

II . LES TECHNIQUES

A) La valeur numérique d'une expression algébrique: (étapes à suivre dans le volume p.188)

Exemples.: La valeur numérique des expressions algébriques suivantes si a = -2, b = 3 et c= -4 est:

1) –2 a²+ 3 b - 4 c =

-2(-2)² + 3(3) - 4(-4) 2) 2 a ² - 2 b + 3 c =

-2Ä4 + 9 - -16 2(-2)² - 2(3) + 3(-4)

-8 + 9 - -16 2Ä4 - 6 + -12

-8 + 9 + 16 8 - 6 - 12 Ä On remplace deux signes

qui se suivent par un seul.

1 + 16 2 - 12

17 (valeur numérique) -10 (valeur numérique)

3) ( a + c)² - 3ab 4) -( a - c)² - 2abc

(-2 + -4)² - 3(-2)(3) -(-2 - -4)² - 2(-2)(3)(-4)

(-6)² - 3Ä-2Ä3 -(-2 + 4)² - 2Ä-2Ä3Ä-4

36 - -18 -(-2)² - 48

36 + 18 - 4 - 48

54 (valeur numérique) -52 (valeur numérique)

Exercices

Trouver la valeur numérique des expressions algébriques , faire le calcul dans ton document et vérifier les réponses ici.

1) 3a - bc 2) -5ac + 3ab - 4c 3) -abc - 2ac - 3b 4) (a + c) - (a - b)

5) -2(ab)² - 3(a-c) 6) 3(- a + b) - (- a - c)² 7) - a + 3(a - c) + c² - ac²

Note: n'oublie pas l'utilité des petites parenthèses lorsque tu remplaces une lettre par sa valeur

numérique si tu veux éviter de faire des erreurs… et la priorités des opérations :

parenthèses ; exposants ; multiplication et division ; addition et soustraction.

B) La réduction de termes semblables:

Exemple : l’expression algébrique 3n - 4n² –6n + 3 + 5n² – 4 peut être réduite en

additionnant ou soustrayant les coefficients des termes semblables.

3n - 6n = (3 - 6)n = -3n

-4n² + 5n² = (-4 + 5)n² = +1n²= n² (1 devant une variable est sous-entendu)

3 - 4 = -1

Donc 3n + 4n² – 4n + 3 – 5n² – 4 = -3n + n² – 1 ou n²-3n-1

Note : 1) 3ba² = 3a²b on écrit normalement les lettres en ordre alphabétique.

2) L’ordre des termes dans une réponse ne change rien à sa valeur.

Exercices : réduire les termes semblables des expressions algébriques suivantes dans le document

et vérifier les réponses ici.

2a + 3b – 4c + 5 – 7b + 5c – 3a – 8b + 5
3x – 3y + 10 – 7x – 7y – 10 + 20x – 4y – 8
2ab – 4a + 3ab – c + 8a – 5c + 10
3xy – 4y + 8x –5xy – 5x – 10y – 20 – 6xy + 8
3x² - 4y² + 5 – 5x² – 4y² + 10 + 8x² + 8y² – 8
3a²b – 4ba² - 6a²b + 6ba + 7ab² + 10ab – 7b²a
3a²b – 4ab²– 5ab + 6ba –7a²b – 10ab
1 ab – 4cd + 1ab + 1cd – 3 + 5ab
3 5 2 5 4
0,6x – 0,7y + 1x + 0,8y – 3,1y + 3x
5 4
5xy² - 3x²y – 4xy² + 3x²y – 7xy²
4 5

C) L’addition d’expressions algébriques :

Additionner deux ou plusieurs expressions algébriques c’est regrouper et réduire les coefficients des termes

semblables de chacune des parenthèses

Exemple : (3x - 5x² +3) Å (-7x + 3x²) Å (6x - 9x² - 8) = _____________________

® 3x -7x + 6x = (3 - 7 + 6)x = 2x (termes en x)

® - 5x² + 3x²- 9x²= (-5 + 3 -9)x² = -11x² (termes en x²)

® 3 - 8 = -5 (termes constants)

donc (3x - 5x² +3) Å (-7x + 3x²) Å (6x - 9x² - 8) = -11x² + 2x - 5

Exercices : additionner les expressions algébriques suivantes dans le document et écrire la réponse ici:

1. (-7y + 3z + 8x – 5) Å ( -3z + 10y + 8x + 5)

2. (3ab – 4 + 5b + 7a) Å ( -2ba + 8 – 7b – a)

3. (-x²y + 3xy²– 2x³+ 3y³) Å ( -2x³+ 3yx²– 3y²x + 5y³– 7)

4. (1 ab – 4cd) Å (1ab + 1cd) Å (– 3 + 5ab)
3 5 2 5 4 2

5. ( 0,6x – 0,7y + 1x) Å (0,8y – 3,1y + 3x)
5 4

6) (5xy² - 3x²y – 4xy²) Å (3x²y – 7xy²)

4 5

D) La soustraction d'une expression algébrique:

1. L'opposé d'une expression algébrique:

Exemples:

1) L'opposé de (2x+3y) ou -(2x+3y) est -2x - 3y

2) L'opposé de (-2x+3y) ou -(-2x+3y) est 2x - 3y

3) L'opposé de (2x-3y) ou -(2x-3y) est -2x + 3y

4) L'opposé de (-2x-3y) ou -(-2x-3y) est 2x + 3y
5) L’opposé de (-2x - -3y) ou -(-2x - -3y) est 2x – 3y car (-2x - -3y) = (-2x + 3y) donc…

NB: Un moins devant une parenthèse veut dire « l’opposé de ».

Trouve l'opposé des expressions algébriques suivantes:

1) L'opposé de (-5x + 3) est __________

2) L'opposé de (8a - 3b) est __________

3) L'opposé de (-4c - 5p) est __________

4) L'opposé de (3x + -4z) est __________

5) - (-4y + 3x - -7z + 2) = _________________

6) - (4y – 3x + 7z – 2) = _________________

7) - (3ab – 2bc – 5ed + 4s - -3) = __________________________

2. Soustraction d’expressions algébriques:

soustraire une expression algébrique (parenthèse précédée d’un moins) revient à :

additionner l'opposé de l'expression algébrique soustraite

Exemples : 1) (2x-3y) - ( 4x - 2y )

                         (2x -3y) Å (-4x + 2y)     addition de l'opposé

                           2x – 4x – 3y + 2y           regroupement des termes semblables

-2x - y réduction des termes semblables

                      2) (-5x+7y)   - (- 8x+6y)

                         (-5x+7y)   Å ( 8x - 6y)    addition de l'opposé

                              -5x + 8x +7y – 6y         regroupement des termes semblables

                                        3x + y                   réduction de terme semblables

                       3) (-7x-4y)    - (-2x - 5y)

                      (-7x -4y)   Å   (2x + 5y)    addition de l'opposé

                              -7x + 2x – 4y + 5y        regroupement des termes semblables

-5x + y réduction de termes semblables

Effectuer les soustractions suivantes (en faisant comme les exemples précédents) et vérifier la réponse ici.

1) (8a-3b) - (9a+5b) 2) (-2a+4c) - (2a -4c)

3) (-5a-6d) - (-8a-3d) 4) (2a-8b+5) - (-3a + 8b -7)

5) (3a + 5c) - ( 6a-8) 6) 3b - (2c - 5b) + 3c - (4a - 6c)

E) La multiplications algébrique:

1. Multiplication : nombres ® lettres

Exemples: 1) 2 · 5x = 2 · 5 · x = 10x 2) -2 · -5xy = -2 · -5 · x · y = 10xy

3) 2x · 3y · - 4 = 2·3·-4·x·y = ______

4) (–3)(2x)(-4y)(-z) = -3·2·-4·-1·x·y·z = ______

2. Multiplication d’expressions algébriques: distributivité de la multiplication sur l’addition et la
soustraction

Exemples: 1) 3(2x - 5y) = ______________

                              (3 · 2x) = 6x
                                    et                             = 6x – 15y
                              (3 · -5y)= -15y

2) - 3(2x - 5y) = ______________

                             (-3 · 2x) = -6x
                                    et                            = -6x + 15y
                             (-3 · -5y) = +15y

3) - 3(-2x + 5y) = _____________

                             (-3 · -2x) = 6x
                                    et                           =    6x - 15y
                             (-3 · 5y) = -15y

Effectuer les multiplications suivantes en appliquant la distributivité et vérifier les réponses ici.

1) -5( 3a - 2b) 2) 3( -2a - 5b) 3) -8(-3a + 4b) 4) -7(4a + 2b)

5) -2(-3a - 3b) 6) -3(2a - 4b - c) 7) -(3a – 4b – 5c + 8)

8) -2(-5a + 3b – 6d – 8) 9) -( -5a + 6b + 7c – 1) 10) -1(-8a - 6b +10c - -3c)

Note: Un moins devant une parenthèse peut aussi indiquer une multiplication par –1.

3. Priorité des opérations :

Exemples :

1) -2(5x + 4y) + 3(2x - 8y) = -2·(5x + 4y) +3·(2x - 8y) (distributivité …)

(-2 · 5x) = -10x (3 · 2x) = +6x

(-2 · 4y) = -8y (3 · -8y)= -24y

= - 10x - 8y + 6x - 24y (réduction des termes …)

= - 4x - 32y

2) -2(5x + 4y) - 3(2x - 8y) = -2·(5x + 4y) -3·(2x – 8y) (distributivité….)

(-2 · 5x) = -10x (-3 · 2x) = -6x

(-2 · 4y) = -8y (-3 · -8y) = +24y

= - 10x - 8y - 6x + 24y (réduction …)

= -16x + 16y

Effectuer les opérations suivantes en te référant aux exemples précédents et vérifier la réponse ici :

1) 3(-2x + 4y) + 4(x - 3y) 2) -4(2a +5b) - 3(-2a - 3b)

3) -2(5a -2d) + -3(2a + 4d) 4) 2(-3b - 5c) - -2(-2b - 6c)

ÄOn remplace deux signes qui
se suivent par un seul.

5) -2(3c - 4d) - -2(3c -4d)

F) La division algébrique :

1) Division: écrire la division sous forme a et simplifier.
                                                                b


    Exemples : a) 2a ¸ 2 = 2a = 1a = a   (1 sous-entendu)
                                        2

b) –3ab ¸ -2 = -3ab = 3ab
-2 2

c) –8xy ¸ 4 = -8xy = -2xy
4

d) –8y ¸ 4 = -8y · 3 = -24y = -6y (multiplication de l'inverse)
3 4 4

2) Division d’expressions algébriques : écrire la division sous la forme d’une fraction et diviser
                                                                  chaque terme de l’expression algébrique par le diviseur.

    Exemples : a) (2a + 2) ¸ 2 = 2a + 2 = 2a + 2 = a + 1
                                                      2        2      2

b) (-a + 1) ¸ -1 = -a + 1 = -a + 1 = a – 1
-1 -1 -1

3) Priorité des opérations :

Exemple : 2(6n + 3) = 12n + 6 = 12n + 6 = 4n + 2
3 3 3 3