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NOTES DE COURS
ITINÉRAIRE 7
LE POURCENTAGE
- Capital et intérêt - Taxes
et impôts - Salaire à commission
- Calcul du 100 % - La facture.
I. LE POURCENTAGE : RAPPEL
A) Définition :
le pourcentage est un rapport, c’est à dire
une comparaison qui
utilise 100 comme base de comparaison.
B) Pourcentages les plus utilisés :
(à apprendre par cœur pour le calcul mental)
Ø 1
% d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par ______.
Ø 10
% d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par _____.
Ø 5
% d’une quantité, il suffit de calculer ____de cette quantité et la diviser
par ____.
Ø 12,5
% ou 1 d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par _____.
8
Ø 20
% d’une quantité, il suffit de ___________ 10% de cette quantité.
(Même principe pour 30%, 40%, 60%,70%, 80%, 90%)
Ø 25
% d’une quantité, il suffite de diviser cette quantité par ____.
Ø 33
1/3 % ou 1 d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par
____.
3
Ø 50
% d’une quantité, il suffit de diviser cette quantité par ____.
Ø 66
2/3 % ou 2 d’une quantité, il suffit de multiplier cette quantité par
____.
3
Ø 100
% d’une quantité correspond à cette ________________.
Ø 200
% d’une quantité correspond au ____________ de cette quantité.
C) Les différentes formes d’écriture d’un nombre :
1.
Le pourcentage en fraction :
a)
25 % = 25 = 1
100 4
b)
12,5 % = 12,5 = 125 = 1
100 1000 8
c)
1 % = 1 x de
1 % = __ x
______ = ____
3 3
d)
33 1/3 % = 33 1/3 de 1% = ______ x
____ = ____
e)
66 2/3 % = ________ de _____ = _____
x ____ = ____
2.
Fraction en décimale :
Note : Toute
fraction sous la forme décimale est périodique.
_
a)
2/5 = 2 ¸ 5 = 0,40 = 0,4 (la période est 0 sous-entendu)
__
b)
1/3 = 1 ¸ 3 = 0,3333….. = 0,3 (la période
est 3)
______
c)
3/7 = 3 ¸ 7 = 0,428571 42….. = 0,428571 (la
période est 428571)
3.
Décimale en pourcentage :
(produit croisé)
a) 12,5 = 12,5
= x = 1250 %
1 100
b) 0,125 = 0,125 = x = 12,5
%
1 100
4.
Pourcentage en décimale: (% veut dire divisé par 100)
a) 2,3 % = 2,3 ¸ 100 = 0,023
b) 1250 % = 1250 ¸ 100 = 12,5 %
__
c) 33 1/3 % = 1/3 = 1 ¸ 3 = 0,3
d) 1/4 % = 1/400 = 1 ¸ 400 = 0,0025
5. Décimale en fraction :
a)
0,25 = 25/100 = 1/4
b) 12,5 = 12,5 / 1 = 125 / 10 = 25 / 2
6. Fraction
en pourcentage : (produit croisé)
a) 1
= x = 25 %
4
100
b) 1 =
x = 12,5 %
8
100
c) 2 =
x = 40 %
5
100
II. LE CALCUL DU
TANT POUR CENT D’UN NOMBRE :
Opération de base : la multiplication
24 % de 200 = 24 % x 200 ou
18 % de 240 = 18 % x 240
A) Calcul du tant pour
cent par écrit (sans calculatrice)
24 x 200
= 48 ou 18 x 240 = 432 = 43,2
100 100 10
B) Calcul du tant pour
cent avec la calculatrice :
1. Transformer
le pourcentage en un nombre décimal
0,24 x
200 = 48 ou 0,18 x 240 = 43,2
2. Utiliser
la touche % de la calculatrice :
Pour la
plupart des calculatrices, il est préférable d’entrer la quantité
avant le
pourcentage et utiliser la touche % de la calculatrice utilisée.
200 x 24 % = 48 ou 200
x 24 2ndF % = 48
III. LE LANGAGE DE L’ARGENT :
A)
Problèmes d’achat et de vente :
1. Prix courant
= prix régulier = prix marqué :
signifie
prix sur l’étiquette ou prix avant un rabais et/ou une taxe.
100 % de la valeur d’une marchandise
2. Rabais
= réduction = escompte :
signifie
montant ou % enlevé sur le prix courant, doit être enlevé
avant le
calcul de la taxe.
3. Prix réduit
= prix régulier moins le rabais
4. Taxes sur les biens et services :
signifie montant ou % ajouter
sur le prix régulier ou sur le prix réduit.
Taxe fédérale ou TPS = 7 %
Taxe provinciale ou TVQ = 7,5 %
Taxes combinées : TPS + TVQ = 15,025
%
Calcul de la taxe combinée :
Prix régulier d’un
manteau : 100,00 $
+ TPS (7 %) + 7,00
$ ( 7 % de 100 = 7.00 )
sous-total
: 107,00 $
+ TVQ ( 7 % ) + 8,025$ ( 7,5
% de 107,00 = 8,025 )
Prix
du manteau avec taxes 115,025 $
Tu as payé 15,025
$ en taxes (TPS + TVQ) pour 100 $ de marchandise,
d’ou 15,025 % en taxes combinées
Fais le calcul des taxes combinées
avec ta calculatrice :
100 +
7 % + 7,5 % , tu devrais lire le nombre
suivant 115,025
donc
pour chaque tranche de 100 tu ajoutes 15,025 en taxes combinées
d’où
15,025 % .
La TPS (7 %) et la TVQ (7,5 %) sont
les taxes en vigueur présentement.
Si elles
changent tu devras refaire les calculs précédents pour trouver les
taxes
combinées.
5. Prix final :
montant
de la facture (prix régulier – rabais
(s’il y a lieu) + taxes)
B) L’argent qui travaille :
1. Définitions :
a) capital :
somme d’argent placée (placement) ou empruntée (emprunt),
b) intérêt sur le capital : montant
ajouté au capital selon le taux
d’intérêt et la durée de l’emprunt ou du
placement,
c) taux d’intérêt : taux fixe exprimé en % pour
une période d’un an
servant à calculer le montant de l’intérêt.
2. Calcul de l’intérêt ajouté au capital:
a) durée
inférieure à deux ans :
capital x
i % x durée/année (formule à apprendre)
Exemples:
Ø
2 500 $ placés à 12 % pendant 9 mois
2 500 $ x 12 %
x 9/12 = 225 $ en intérêts
pour 9 mois
Ø
2 500 $ placés à 12 % pour un an
2 500 $ x 12 %
= 300 $ en intérêts pour un
an ou 12 mois
Ø
2 500 $ empruntés à 12 % pour 90 jours
2 500 $ x 12 % x _____/ ______ = _________
Ø
2 500 $ empruntés à 12 % pour 1 an et demi ou 18 mois
_____________________________________________
b) Durée supérieure à deux ans : l’intérêt
s’ajoute au capital
année par année
Exemple : 2 500 $ placés à
12 % pour 3 ans
Calcul détaillé :
1ère année :
2 500 $ x 12 % = 300 $ en intérêts
Capital + intérêts
= 2 500 $ + 300 $ = 2 800$
2e année : 2 800 $ x 12 % = 336 $ en intérêts
Capital + intérêts = 2 800 $ + 336 $ = 3 136 $
3e année : 3 136 $ x 12 % = 376,32
$ en intérêts
Capital + intérêts
après 3 ans :
2 500 $ + (300$ +336
$ +376,32 $) = 3512,32 $
1012,32
$ en intérêts pour 3 ans
Calcul
rapide à l’aide de la calculatrice :
Capital + intérêts
2 500 $ + 12 %
+ 12 % + 12 %
= _________
Montant
de l’intérêt = ________ - 2
500 $ = ________
C)
Taxes et impôts :
1. Impôts :
montant ou % perçu par les gouvernements fédéral et provincial
sur des revenus.
2. Taxes sur
la propriété : montant ou % perçu sur la valeur des terrains et
immeubles par les municipalités et
les commissions scolaires.
3. Taxes sur les biens et services :
a) au fédéral :
TPS : ____%
b) au provincial :
TVQ : ____%
Taxes combinées : TPS + TVQ = ________%
4. Autres taxes : sur l’essence, les cigarettes,
l’alcool ….
D)
Salaire à commission :
1. Commission :
% appliqué sur le total des ventes et ajouté au salaire de base.
2. Formule
pour calculer le salaire à commission : (à apprendre par cœur)
ventes($) x commission(%) + salaire de base = salaire brut
(salaire brut = salaire avant toutes déductions
et impôts…)
3. Exemple :
Josianne a vendu pour 2 500 $ de marchandise durant la
semaine, si elle
reçoit une commission de 5% sur le montant de
ses ventes et un salaire de base de 250 $ par semaine, quel salaire
brut recevra-t-elle cette semaine (hebdomadaire)?
Démarche :
ventes($) x commission(%)
+ salaire de base = salaire brut
2 500 $
x 5 % + 250 $ =
375 $
Josianne recevra 375 $ en salaire brut cette semaine.
IV. Calcul
du 100 % :
A) Définition :
le 100 % est le montant initial, la valeur de départ.
Ø
Retrouver le prix régulier avant
un rabais ,
Ø
Retrouver le prix régulier avant
taxes ,
Ø
Retrouver le capital avant
intérêts,
Ø
Retrouver les ventes avant commission
.
B)
Méthodes pour calculer le 100 % :
1. Méthode utilisant une proportion :
a) Fabienne a obtenu un rabais de 12
% soit 7,20 $ à l’achat d’un
pantalon
quel était le prix régulier de ce pantalon?
Tableau de proportionnalité |
% |
$ |
|
Rabais
|
12 |
7,20 |
|
Prix
régulier
|
100 |
x |
x = 100 x 7,20 =
60 $
12
Réponse : Le prix régulier du manteau
était 60 $.
b) Lors d’une vente le prix réduit d’un manteau est de 350 $.
Ce prix
représentait une réduction de 30 %
sur le prix courant. Quel était le
prix courant du manteau ?
Tableau de proportionnalité |
% |
$ |
|
Prix
réduit (prix
régulier – réduction)
|
70 |
350 |
|
Prix
courant
|
100 |
x |
(prix courant du manteau en % = 100 %)
(prix
réduit du manteau en % = 100 % - 30 % = 70 %)
x = 100 x 350 = 500 $
70
Réponse : Le prix courant du manteau était de 500 $
c) Tu as payé 920$ pour une planche à neige, taxes de 15 % incluses.
Quel était le prix marqué de la planche à
neige ?
Tableau de proportionnalité |
% |
$ |
|
Prix
final
(prix
marqué + taxes) |
115 |
920 |
|
Prix
marqué
|
100 |
x |
(prix marqué
de la planche à neige = 100 %)
(prix final
de la planche à neige en % = (100 % + 15 %) = 115 %)
x = 100 x 920 = 800 $
115
Réponse :
Le prix marqué de la planche à neige était 800 $.
2) Méthode utilisant une équation : (revoir méthode algébrique Itinéraire 5)
À partir des 3 exemples précédents
a) I. x :
le prix régulier du pantalon (100%)
12 % du prix régulier est
égal au rabais de 7.20 $
E. 12 % de x = 7,20 $ (rappel :
«de» signifie «multiplier»)
x = 7,20 $ ¸
12 % ou x = 7,20 $ ¸ 0,12
(dans une équation,
il est parfois plus simple de
transformer les
pourcentages en décimales)
x = 60 $
Vérification : 0,12 x 60 $ = 7,20 $
(V) ou 12 % x 60 $ = 7,20 (V)
R. Le
prix régulier du pantalon était 60 $.
b) I. x :
le prix courant du manteau (100 %)
350 $ est égal au prix courant moins le rabais
ou (100 % - 30 %) du prix courant = 70 % du prix courant
E. (100 % - 30 %) de
x = 350 $ (rappel : «de» signifie
«multiplier»)
70 %
de x = 350 $ ou 0,70 x = 350 $
x = 350 $ ¸
70 % ou x = 350 $ ¸ 0,70
x = 500 $ x = 500 $
R.
Le prix courant du manteau est 500 $
c) I .
x : le prix marqué de
la planche à neige (100 %)
920
$ est égal au prix marqué plus les taxes
ou
(100 % + 15 %) du prix marqué = 115 % du prix marqué.
E. 115 % de x = 920 $ ou 1,15 x = 920
$
x = 920 $ ¸
115 % ou x = 920 $ ¸ 1,15
x = 800 $ x
= 800 $
R. Le prix marqué de la planche à neige est 800
$
Problème défi :
Tu as payé 402,50 $ un manteau après une réduction de 30 % et des taxes de
15 %. Quel était le prix régulier du manteau ?
1. Calcul du prix avant taxes ou prix réduit :
2. Calcul du prix avant rabais ou prix régulier :
Réponse : Le prix régulier du manteau était 500 $