I. Expérience aléatoire :

   A) Définitions :

1.      Expérience aléatoire : expérience dont le résultat relève complètement du  
                                      hasard.

- on ne peut prédire le résultat à l’avance,

- on peut facilement prédire l’ensemble des résultats possibles,
- on peut facilement reproduire l’expérience.

            2.   Univers des possibles : ensemble des résultats possibles d’une expérience 
                                                         aléatoire désigné par la lettre Ω (oméga).
  
                  Ω se définit de deux façons :

                  a) Définition en extension : en énumérant tous les résultats possibles

                                                           Ω =  { a, e, i, o, u, y }

           
                   b) Définition en compréhension : à l’aide d’une variable et d’une phrase donnant la
                                                                            caractéristique commune à tous les résultats de      
                                                                            l’expérience.

Dans la définition en extension précédente, tous les résultats sont des
voyelles de l’alphabet c’est à partir de cette caractéristique commune
que l’on définit Ω en compréhension :

                Ω = { x | x est une voyelle de l’alphabet}

Et qui se traduit comme suit :

                Ω = { l’ensemble de tous les résultats tel que chacun des 
                        résultats est une voyelle de l’alphabet}

B) Sortes d’expériences aléatoires :

            1. Expérience aléatoire simple : expérience aléatoire à une étape.

                     Exemple : lancer un dé  et observer le nombre sur le dessus du dé. 
                                       (six résultats possibles puisqu’il n’y a qu’un chiffre par face).

                        
                                              Ω = { 1,2,3,4,5,6 }

            2. Expérience aléatoire composée : expérience aléatoire à plusieurs étapes.

                            Exemple : lancer une pièce de monnaie suivie d’un dé et observer
                                              ce que l’on voit sur chacun des objets utilisés. 
                               

                Chaque résultat dans l’univers des possibles de cette expérience aléatoire
                composée est formé de 2 composantes :
                 - une de la première étape (la pièce de monnaie)

                 - une de la deuxième étape (le dé)

                On écrit les composantes sous la forme de couples, (de triplets…) entre
                parenthèses : (le contenu de chaque parenthèse est un résultat)

                                   Ω = { (P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6),

                                             (F,1), (F,2), (F,3), (F,4), (F,5), (F,6) }

                Il y a donc 12 résultats possibles dans cette expérience aléatoire composée.

C) Dénombrement des résultats d’une expérience aléatoire composée :

            1. Règle de dénombrement : règle de multiplication

                 On multiplie le nombre de résultats possibles à la première étape par le
                 nombre de résultats possibles à la deuxième étape…

            2. Méthodes visuelles de dénombrement :

                a) Le diagramme de Venn

                    Exemple : Lancer une pièce de monnaie suivie d’un dé :

                            Dénombrement                                        Énumération des résultats

                                                                                   Ω = {(P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6),
                                                                                            (F,1), (F,2), (F,3), (F,4), (F,5), (F,6)}

                        2             x                 6              =                  12 résultats

          


b) La grille : même expérience aléatoire que précédemment :

   2 x 6 = 12 résultats

             c) Le réseau :

                 Exemple : Pour aller de la ville A à la ville C on doit passer par la ville B.
                                   Deux routes mènent de A à B et trois de B à C. Combien  de trajets
                                   différents sont possibles ?

                                                                   2                   x                    3              = 6 trajets

                                         
                                                          Ω =  {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4),(2,5)}

                 Note : Un réseau peut se diviser en sous-réseaux, on additionne les trajets
                             possibles de chaque sous-réseau.         

                           Pour se rendre de la ville A à la ville C, il y a 2 sous-réseaux :

                                                ABC   : 2 x 3 =  6 trajets

                                                 ou                      +

                                                ADC   : 3 x 3 =  9 trajets

                                                                          15 trajets

               d) Le diagramme en arbre :

    Exemple : Dans un sac on a mis 3billes : 1 rouge, 1 noire, 1 bleu.                  

   On effectue deux tirages successifs et on observe la couleur :
 
                   
    
   1) Tirage avec remise : étapes indépendantes (l’étape 2 ne dépend pas de l’étape 1)

               2) Tirage sans remise : étapes dépendantes ( l’étape 2 dépend de l’étape 1)

II. Calcul des probabilités : quantification de la chance.

               -La probabilité d’un résultat est un nombre :

                        . entre 0 et 1 : le résultat est dit probable
                                               (a des chances de se produire : obtenir un 2 avec un dé)

                        . égal à 0 : le résultat est dit impossible
                                         (n’a aucune chance de se produire : obtenir un 7 sur un dé)

                        . égal à 1 : le résultat est certain
                                         (est assuré de se produire : obtenir un 3 sur un dé dont toutes
                                          les faces sont numérotées 3)

                                          

A)    Probabilité d’une expérience aléatoire simple (basée principalement sur la logique)
 
Exemple :    probabilité d’un résultat   =  obtenir un 3 =  1
                     nombre total des résultats      sur un dé       6

Notation :   P(3) = 1        et se lit : la probabilité d’obtenir un 3 en lançant un dé est

                                     6                       1 chance sur 6 .

B)    Probabilité d’un résultat d’une expérience aléatoire composée (à l’aide de l’arbre des
                                                                                                            probabilités)

Exemple 1 : La pièce de monnaie et le dé…Quelle est la probabilité d’obtenir (F,4) ?

            La règle de multiplication : 2 x 6 = 12 résultats possibles

             Ω = {(P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6), (F,1). (F,2), (F,3), (F,4), (F,5), (F,6)}

             Arbre de probabilités

              P((F,4)) = P(F) x P(4) = 1 x 1 =  1    (F,4) est un résultat parmi les douze résultats                    
                                                    2    6     12   possibles et tous les résultats sont équiprobables.

Exemple 2 :Un sac de billes contient 4 billes noires et 2 billes blanches.
                                On tire successivement deux billes et on s’intéresse à la couleur.
                                Quelle est la probabilité d’obtenir (B,B) ?

            Construisons l’arbre des probabilités pour mieux visualiser les situations possibles :

               - Situation 1 : on remet la bille après le premier tirage (étapes indépendantes)

                                                                                                          
                                                                                                                    P(Ω )        =       1

P((B,B)) =  P(B) x P(B) = 2/6 x 2/6 = 4/36 = 1/9

            -Situation 2 : sans remise de la boule tirée au premier tirage (étapes dépendantes)

                                                                                                                P(Ω)       =       1

P((B,B)) = P(B) x P(B) = 2/6 x/1/5 = 1/15

            À RETENIR : dans une expérience aléatoire composée ou à plusieurs étapes

            1. Les résultats peuvent être équiprobables : tous les résultats ont la même
                probabilité.

            2. La probabilité des résultats d’une étape peut parfois dépendre de l’étape précédente.
                On dit que les étapes sont dépendantes ou indépendantes .

            3. La probabilité d’un résultat composé est égale au produit des probabilités de chacune
                de ses composantes.

                D’où l’importance de toujours s’interroger si les étapes sont indépendantes ou
                dépendantes.

            4. Convention d’écriture :

- la probabilité d’un résultat d’une expérience aléatoire simple s’écrit :

                          Exemple : la probabilité d’obtenir un  2 en lançant un dé s’écrit :

                                                           P(2) = 1/6

                        - la probabilité d’un résultat dans une expérience aléatoire composée s’écrit :

                         Exemple : la probabilité d’obtenir (F,4) après avoir lancer une pièce de monnaie
                                           suivie d’un dé s’écrit :

                                                           P((F,4)) = 1/2 x 1/6 = 1/12

            5. Signification de certaines expressions souvent utilisées en probabilité :

-         au moins ou minimum 2 signifie : 2 et plus,

-         au plus ou maximum 2 signifie : 2 et moins,

-         exactement signifie……..exactement.

III. Un événement dans une expérience aléatoire

A)    Définition : un événement est un sous-ensemble de l’univers des possibles.

Exemple 1 : Lancer d’un dé…. (expérience aléatoire simple)

                  L’univers des possibles est  Ω = {1,2,3,4,5,6}

                  L’événement   « obtenir un nombre pair » est un sous-ensemble de Ω,

                  soit {2,4,6} et sa probabilité se calcule comme suit :

                  P({2,4,6}) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½

Exemple 2 : Lancer une pièce de monnaie et un dé….(expérience aléatoire composée)

      Ω = {(P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6), (F,1). (F,2), (F,3), (F,4), (F,5), (F,6)}

      L’événement  « obtenir un résultat contenant 1 » est un sous-ensemble de Ω,

      soit {(P,1), (F,1)} et signifie obtenir les résultats {(P et 1)  ou  (F et 1)}.

      Sa probabilité se calcule comme suit :

                       La probabilité d’obtenir { (P et 1)     ou    (F et 1)}) =

                                                 (1/2 x 1/6)   +   (1/2 x 1/6) =
                                                      1/12        +        1/12      = 2/12 = 1/6

      ( «et»  signifie «x» , «ou» signifie «+» dans le langage scientifique)

            B) Sortes d’événements : Soit Ω = {1,2,3,4,5,6}

                        1. Événement élémentaire : événement contenant qu’un seul résultat de Ω.

                                   Exemple : {2} est un événement élémentaire.

                        2. Événements compatibles : 2 événements ayant au moins un résultat commun.

                                   Exemple : {1,2} et {2,3,4} sont deux événements compatibles car ils ont 2
                                                      comme résultat commun.

                        3. Événements complémentaires : 2 événements incompatibles dont l’union donne Ω.

                                   Exemple : {1,3,5} et {2,4,6} sont des événements complémentaires,

                                                     Aucun élément en commun et {1,3,5} È {2,4,6} = Ω.

                        4. Autres événements :

- événement certain : Ω (dont la probabilité égale 1) : P(Ω) = 1

                                   - événement nul : {  } ou f (symboles signifiant ensemble vide et dont
                                                                                 la probabilité égale 0) : P(f) = P({  }) = 0